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数学史话  

2011-08-16 08:36:50|  分类: 自然学科 |  标签: |举报 |字号 订阅

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印度和阿拉伯:数字、零和代数

    印度在亚洲的南部。春天到来的时候,北边喜马拉雅山上的积雪开始融化,聚集成五条急流,汇总流入印度河。很早以前,在富饶的印度河谷地就出现了上古的居民达罗毗托人,世界最古老的文化之一就发源在这里。

    在一些方面,达罗毗托人的文化比埃及和苏马连文化高。他们有自己的独特的文字,有十进制的算法。大约公元前两千年的时候,印度人就已经使用51个字母组成的文字,数学在印度曾被认为最重要的科学之一。和许多古老的民族一样,它的头一批数学家也是僧侣。

    直到两千年前,印度人还使用由横划组成的数字。后来,他们开始用干棕榈叶做写字的材料,并且发展了草体书法,于是由一到九的各不相同的数字符号就这样日趋成形了。古印度人也用美索不达米亚商人的算盘来进行计算,每个数字符号都能很方便地表示算盘上任何一行的石子数。

    印度人新的数字符号要是到此为止不再发展,那意思就不大了。事实上,ZZ只能表示在任意两行沟里的两个石子,它可以是22,也可以是202、2020等等。这就是说,人们不仅要知道沟里有几个石子,还要知道它们各在那一行里。

    不知什么时候什么人,在前人智慧和成就的基础上,总结出了这样一个办法:用最右面的数字表示个位行里的石子数,左面相邻的数字表示十位行里的石子数。其它则以此类推,用点表示空行。这样,ZZ就只表示22,Z.Z.就只表示2020,而没有其它的意思了。表示空位的“.”,后来改用“0”代替。

    有了这个记数法,人们就可以用同一个符号记录算盘上任何一行上的同一个数字,简单清楚,书写方便。印度记数法的最大优点是能用数字来进行计算,这是一个了不起的进步!

    我们知道,古老的书写系统,包括埃及的、巴比伦的、希腊的、罗马的都是用不同的符号来表示算盘上不同行里的相同的石子数,不像我们今天可以用同一个“1”,在不同的数位上表示一、十和一百。因此每一位行都得用不同的加法表相乘法表,用它们做笔算或心算是很麻烦的。如果只有九个不同的符号,其中每一个都可以表示任何一行的石子数,零表示空行,那每一行上的计算就都是一样的了。这样,人们只要掌握一个表就行了,好懂、好背、好用。

    我国古代计算是用算筹。算筹为了避免相邻两位数码混淆,采用了纵横相间的办法,而是每一行的加法表和乘法表,一直都是一样的。

    印度人创造的这套数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,是对数学知识的非常宝贵的贡献!它很快就引起了计算艺术的革命。

    印度数学家还研究了分数,并且能象我们今天这样书写它们。到公元五百年,伏拉罕密希拉能通过计算,预告行星的位置;阿耶波多论述了确定平方根的法则,给出了圆周率的近似值为3.1416。

    公元七世纪初期,伊斯兰教的创始人穆罕默德统一了整个阿拉伯地区。他死后的三百多年间,他的门徒带着这种新教,往西经过整个北非,进入西班牙和葡萄牙;往东越过印度河进入了亚洲的广大地区。

    大约在762年,穆斯林们建立了帝国首都巴格达城。四十年后,它成为世界著名的学术中心,就象希腊和罗马时期的亚历山大城一样。

    在公元八百年到九百年这一个世纪里,东西方的知识在巴格达得到了交流。东方来的商人和数学家带来了新的数字符号,印度算术和中国的算学成就;从西方选出来的异教徒带来了亚历山大强盛时期的科学著作,其中包括天文学和地理学的论文,还有欧几里得几何学。穆斯林学者把这些著作译成了阿拉伯文。

    穆斯林的天文学家发展的制图学,远远超过了亚历山大时期的水平。在巴格达的学校里,三角学盛行起来。由于掌握了印度的新算术,穆斯林数学家能更为完满地研究和应用欧几里得和阿基米得的几何学成就。航海家装备和改进了航海设备;地理学家也有了新的更好的大地测量工具。穆斯林世界的科学技术,取得了很高的成就。

    公元一千年,古罗马帝国的大部分地区被置于穆斯林的统治之下。在西班牙的穆斯林大学里,学生们可以学习希腊几何学、印度算术、天文学、三角学和地理学,而这些科学,巴格达学者都作了很大的改进。

    从十二世纪开始,穆斯林世界的科学知识逐渐传到欧洲各地。到了公元一千四百年,意大利、法国、德国和英国的商人们开始使用新数字,教授新算术的学校开始在整个欧洲兴起。半个世纪后,渐渐有了印刷术。算术教科书和航海历是主要的印刷品。

    新数字从一个地方传到另一个地方,常常一方面变形走样,一方面又保持着九个符号和一个零的样式。但是,如此先进的数字也并不是一开始就能在所有地方被接受的。十三世纪时,一项法令禁止佛罗论萨的银行业者使用新数字。一百年后,意大利的派丢厄大学还坚持书籍的价格表必须用罗马数字。直到十五世纪末,印度数字才在西欧的航海和商业中普遍使用。几个世纪后,虽然还有人坚持用算盘和计算板上的计算方法,但是越来越多的人热衷于学习新算术了。

    在早期印刷出版的教科书中,不少列表和解决加减乘除问题的简便方法,现在虽然已经成为博物馆里的东西了,但是这些教科书把新的简写符号,比如“十、—”等引进算术中却是十分重要的,尽管这些符号最早很可能是表示包裹超重和缺重用的,不是数学上的有意的发明。由于这些符号显示了作用,随后,另一些符号“×、÷、∴、=”,也逐渐被引了进来。

    对于我们现在用代数求解的某些问题,印度和穆斯林的数学家也早就发现了解它们的妙法,“代数”一词就是阿拉伯语。但是穆斯林数学家那时讲授的代数和我们现在学的代数是不一样的。他们的代数式都是文字写的,唯一的简写的符号是表示平方根的符号。

    代数学大约到十七世纪初才逐渐形成。下面我们来作一个简单的题目,看看代数学是怎样变化发展的:题目:一个数,乘以2,除以3,等于40,问这个数是多少? 印度和穆斯林的数学家是这样解的:因为这个数的三分之二是四十,它的三分之一就是四十的一半,即二十;又因为这个数是二十的三倍,得这个数是六十。引进一些数学符号以后,早期的算法是这样来求解的:(2×某数)/3=40,某数/3=1/2×40=20,某数=3×20=60。

    我们现在的代数,以字母n代替了“某数”,并且省去了乘号“×”。解法如下: 2n/3=40,n/3=20,n=60。

    公元一千二百年的穆斯林教师肯定能给出解这类问题的法则,但是语句势必冗长繁琐:如果你已经知道一个数,乘以第二个数,再除以第三个数,结果为已知的话,那么你就可以把这个结果乘以第三个数,再被第二个数来除,把原数求出来。

    现在,我们可以用n表示任意数,s表示第二数,t表示第三数,a表示得数,如果sn/t=a,那n=ta/s。写成这样的形式,法则就一目了然,清楚好记了。

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