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日志

 
 

数学的童年[6]  

2011-08-17 08:37:31|  分类: 自然学科 |  标签: |举报 |字号 订阅

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欧洲:远航、引力和图像

    十六世纪的欧洲,工商贸易迅速发展,促进了航海事业的大发展。

    远洋航行的船只随时需要确定自己在茫茫大海中的位置,所以准确的时钟就成了必不可少的重要工具。船只在海上的位置是由所在的纬度和经度来表示的。自古以来,许多科学家根据日月星辰的情况,制作了许多观像仪,可以用来确定任何一点所在的纬度。要想定出船只所在的经度,最好的办法是用所在地的时间和家乡港口的时间作比较。

    为什么这样可以确定经度呢?我们知道,地球一天二十四小时由西往东转动一周是360°,就是一小时转动15°,一分钟转动0.25°。这样,要是知道了船只所在地的时间比家乡港口早了一小时四分,那船只就在家乡港口东16°的经线上。

    曾经有人用古观象仪得到过非常近似的当地时间。但是要确定另一地点的时间,用两地的时间差来求出两地的经度差,却几乎是毫无办法。

    从哥伦布发现新大陆到麦哲伦绕地球以后的很长时期里,因为没有准确的时钟,所有的航海家都面临确定经度这个生死攸关的大事。一旦经度和航向有了偏差,就可能引起人员的大量死亡和船只的沉没。

    古代使用过日规、滴漏、烛时计,以后是教堂里用的重力钟等。这些计时工具显然已经过时了,人们要求的是能精确测量分和秒的计时工具。

    1583年,意大利科学家伽利略第一个发现了精确测量微小时间的线索。在比萨大教堂做弥撒的人群中,伽利略细心地观察来回摇摆的灯,他以脉搏的跳动计算摆动的时间,发现每一次摆动都用同样的时间。

    后来,伽利略用一个自制的滴水钟来检验这个观测的准确性。摆在摆动时,他让水通过一个大水桶底部的小孔,流到下面的小杯内。如果两次摆动流出的水的重量一样,那两次摆动用的时间就是一样的。检验的结果是肯定的。

    实验还表明,摆动的时间只和摆的长度有关系。要想使摆动时间加倍,必须让摆长扩大为四倍;要想使摆动时间加为三倍,摆长必须扩大为九倍,即摆长与摆动时间的平方成正比。现在我们知道这个规律对于小角度的摆动才成立,当摆动弧度过大时就不大准确了。1657年,荷兰科学家惠更斯利用伽利略的发现,首先制出了精确的摆钟。

    到了十八世纪中期,当航船配备了六分仪和经线仪之后,确定经度的问题才完全得到解决。六分仪可以精确地提供当地时间;经线仪能时刻给出家乡时间。最初的经线仪就是一个能在远洋航行中保持精确时间的钟,它是一个自学的英国木匠哈里森发明的。

    一个世纪以后,世界各国一致同意以格林威治时间为标准,定时计表,并且把通过伦敦格林威洽天文台的经线作为划分经度的起点,从此人们又有了统一的时间和经度了。

    十六世纪以前,人们一直认为物体降落的快慢是和物体的重量有关的。在伽利略以前,学校的教师总是这样对学生讲:物体降落的速度是跟它的重量成正比的。伽利略的摆动实验否定了这个看法,他发现,摆底部的摆锤重量对于摆动周期没有影响。

    为了无可争辩地解决这个问题,伽利略在比萨斜塔上当众做了著名的落体实验。他从斜塔上同时落下几个不同重量的金属球和一个象牙球,观众亲眼看到它们一齐下落,同时到达了地面!

    伽利略还发现,重物下落时,速度是在不断增加的,或者说在加速。但是,由于他那个时候还没有按秒计时的停表,所以直接测量加速度是有困难的。

    伽利略意识到,球体在斜面向下滚和在空中下落一样,都是重力作用的结果,只不过斜面减慢了球体的速度罢了。于是,他让一个光滑的、完全标准的青铜小球,顺着一条充分光滑的斜槽滚下来,研究小球的运动。尽管斜槽中的斜面减缓了小球的速度,但是重力对它的作用相对下落重物的作用是完全一样的。他发现,小球在两秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的四倍;在三秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的九倍。啊!滚动距离与滚动时间的平方成正比,伽利略找到了匀加速运动的规律!

    根据这个发现,就可以算出炮弹在空中飞行的弹道了。炮弹离开炮口时,如果没有重力以匀加速度向下拉它的话,就会沿着炮筒的方向直线前进。正是由于重力的吸引,它经过的才是一条曲线,叫做抛物线。

    伽利略以前的数学家,曾试图帮助炮兵根据目标的距离来确定炮的仰角,一直没有成功。搞清楚重力对炮弹飞行的作用后,就可以根据目标的距离来决定炮身的仰角了。因为目标的距离和炮弹的速度决定了炮弹的飞行时间,也决定了重力作用于炮弹的时间。

    十七世纪的军事工程师依据伽利略的研究,设计出了防御炮击的新式堡垒。它不再修在山头上,而是建在低凹的地方,并且用地面的泥土工事作掩护。这种堡垒好防守,又同样能有效地打击敌人。

    早在十六世纪的时候,海员们就开始在标有经纬线的地图上记录航船每天的位置;联接所有这些位置点的线,就是船的航线。数学家曾不只一次地试图以同样的方法在坐标图上描绘动点的轨迹,可惜都没有取得令人满意的结果。

    法国数学家笛卡儿最早认识到轨迹的重要意义。他是第一个建立平面坐标,引入变数,开创解析几何的人。他也是最早使用现代字母和符号来书写方程的数学家之一。

    根据笛卡儿的思想和方法,我们就好用图像的方法来解决阿溪里斯和乌龟赛跑的问题了:如果以竖轴表示时间,横轴表示距离,分别以两个动点表示阿溪里斯和乌龟,那就可以简单明白地表示出它们赛跑的情况来。

    两个动点的轨迹是两条直线。两条直线交点的横坐标,就是阿溪里斯追上乌龟的距离,纵坐标就是追上乌龟的时间。

    人们从很早以前就开始了对天体的研究。希腊的托勒密认为,地球是宇宙的中心,太阳、月亮和行星、恒星都围绕地球运动。当时的天文学家,除了阿斯塔恰斯和费劳鲁斯等极少数的几个人外,都承认这种地球中心说。

    托勒密的学说非常符合基督教对宇宙结构的解释,它受到教会的竭力宣扬和扶持。因此,在中世纪的欧洲保持了长时期的统治地位。后来,波兰科学家哥白尼指出:地球和其它行星,都是围绕太阳运动!到了十七世纪,哥白尼的理论被更多的人,包括丹麦天文学家第谷、德国天文学家开普勒和伽利略所接受。

    开普勒在第谷详细观察的基础上,经过长期的分析研究,指出行星围绕太阳的运动轨道不是精确的圆,而是椭圆,太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

    开普勒发现了行星绕太阳运动的椭圆轨道,却不知道行星这样运动的原因。伽利略知道用重力解释炮弹飞行的弹道,却没有认识到重力可以解释行星的轨道。

    抽气机的发明推动了科学研究的发展。通过真空里的落体试验,人们得到了引力的更精确的数据。笛卡儿指出:任何运动的物体,如果不受到外力使它停止或者改变方向,它会永远沿直线运动。

    这也就是说,关于行星运动的问题,需要解释的不是为什么它们能保持运动,而是运动的轨道为什么是闭合曲线,而不是直线。牛顿总结了许多世纪以来的观察、推理和分析,终于给出了万有引力定律。

    牛顿指出:任何两个物质质点都是相互吸引的,引力的大小,跟两个质点的质量乘积成正比,跟它们的距离平方成反比。这就是说,整个宇宙中的吸引力,都遵守和在地球上一样的规律。太阳把行星拉向它的中心,就象地球把重物拉向它的中心一样。如果没有这种引力时,行星也会象重力消失时的炮弹一样沿直线运动。正是太阳的引力,使它离开了直线轨道。牛顿论证了行星的速度和太阳的吸引如何一起使行星保持在它们运动的闭行曲线上。

    生产和技术的发展推动着力学和天文学的前进,也推动着数学的前进。那时候,欧洲普遍建立了科学院,空前丰富的名种科学成果,在那里得以汇集交流。正是在这样的基础上,十七世纪后半叶,莱布尼茨在德国、牛顿在英国,几乎同时建立了微积分。这一理论的产生,是数学史上具有重大意义的创造。它对近代自然科学的进步,产生了革命化的影响!

工业世界:速度、精确和计算工具

    人们利用风来推动帆船已有几千年的历史,利用风和水的急流转动磨盘和水车也好几百年了。但是一直到十七世纪,世界上大部分的劳动还都要靠人力来做。

    随着生产规模的扩大,各种事业的发达,人力已经远远不能满足日益增长的需要。比如开掘更深的矿井时,用人力抽水机就很难对付井下大量的地下水。于是寻找新的动力来源就成了当时急需解决的大问题。

    十七世纪末叶,法国的帕潘和英国的萨瓦里都做成了水力推动的抽水机。过了几年,纽考曼做成了第一架蒸汽动力活塞发动机。五十年后,瓦特改良了蒸汽机的装置,并且发明了曲柄连杆,这样就使得蒸汽机能够带动轮子转动。

    瓦特通过实验发现,一匹强壮的马在一分钟里能把150磅的重物升高220英尺。如果一架发动机同样能在一分钟里做到同样的事情,那它的工作能力——功率,就是一马力。

    看来好像很奇怪,蒸汽动力的使用使得马在工业上的作用日益减少,为什么动力计量单位还要用马力呢?其实,这和蜡烛被代替以后,亮度的计量单位仍用烛光是一样的道理。把新的量建立在原有量的基础上,大家很容易理解和接受。

    现在,我们使用的许多计量单位是一种精密确切的计量语言,是瓦特时代的工程师和科学家所难以理解的了。比如力学中的达因牛顿,热学中的大卡,电学中的伏特安培等,它们更为适应动力时代的需要。

    在瓦特之后的一百年里,蒸汽动力迅速改变了西方世界的生产状况和生活面貌。在煤田附近,由于有丰富廉价的蒸汽机燃料,大工业城市急剧兴起,工业从乡村的茅棚转移到了城市的工厂;浓烟滚滚的烟囱代替了远洋船道上的片片白帆;大马车哒哒的马蹄声渐渐绝迹,取而代之的是蒸汽机车奔驰在铁道上的轰隆声。

    机器的使用,开创了大规模生产的新时代。随之而来的,是对组织和管理这种生产也提出了许多新的问题。在小型生产的手工作坊里,人们只要掌握收入和支出、赢利和亏损就行了;而对大型的机器工场,那就必须进行计划生产,必须了解产品的需要是否随季节变化,产品在什么地方能畅销,如何能改进产品的质量和销路等等,急待解决的问题是很多的。

    有助于说明这些问题的情报,经常是用简单直观的图表给出的。比如,可以用直条图来记录供电所每天的供电情况。图上每根长条的高度分别表示各个小时的供电数量;进行贸易的商人,可以做一个圆形图表,用整个圆的面积表示他所有的商品,而以各个扇形的面积分别表示要在各个地方销售的部分。

    和数学关系特别密切的统计学,它的进步只是动力时代的一个特点。这个时代更重要的特点是设计方面的进步。我们把五、六十年前的汽车和飞机拿来和今天的相比,无论是外形还是内部结构,都能看出变化之大!华丽的流线型、轻巧的内燃机和喷气发动机使得现代的汽车和飞机能以最小的能量损失,平稳而又高速地运行。不管你喜欢还是不喜欢,它们的外形是由本身的原因决定的,它们的确有更大的效率。设计的变革是工程技术人员辛勤研究和计算的结果,而工程技术人员的研究和计算,又必须依赖数学。

    随着科学技术的发展,从实际生产中提出的各种数学问题也跟着变得更为复杂了。近代许多计量问题要求的精度高、计算量大,而且速度要快。正是在这种形势下,计量工具得到了迅速的发展。

    1621年,奥持列德发明了计算尺。用经过改进的计算尺,人们能足够准确地、在几秒钟内算出任何圆面积、求出任意数的平方或平方根;利用千分尺,人们能以千分之一厘米的精密度测量薄金属片的厚度;利用半圆规,人们可以方便准确地做出各种角度;欧几里得圆规直尺几何学范围外的曲线,人们借助云形规能画出它们的轮廓来。

    新的动力把人从大量繁重的体力劳动中解放了出来;新的数学工具把人从大量的单调计算中解放了出来。过去,复制一张扩大三倍的平面图纸时,首先必须仔细地量取原图每根线的长度,然后扩大三倍,再小心地画出;今天,只要简单地调整一下放大尺就行了。

    牛顿时代,已经设计出了把乘除变为加减运算的对数表;在动力时代,我们有了能在转瞬间解决复杂问题的电子计算机。

    要是因为掌握了先进的计算工具,就觉得我们比过去的人们更高明,那就错了。事实上,我们今天所有的进步都是在前人的成绩基础上取得的。如果过去没有人算出精确的π值,我们怎么能用计算尺来求圆面积呢?如果没有人把圆分成了度数,我们又怎么能用半圆规来做角度呢?就是现代计算工具的尖端——电子计算机,情况也是这样的。如果没有我们祖先以十为基数的十进制,我们又怎么能有以二为基数的二进制呢?

    动力时代的数学,为现代自然科学和社会科学的发展提供了新的重要工具。十九世纪,高斯等建立了一种全新的几何——非欧几何。

    我们在学习欧几里得几何学时,有这样一条公理:在平面上,过直线外一点,只能作一条直线平行于原直线。而高斯等却做出了另外一种假设,他们认为:在含有已知直线和直线外的已知点的平面中,过该点可引无数不与已知直线相交的直线。

    在非欧几何学中,通过直线外的一点,可以引无数位于直线与点同一平面、并且不与已知直线相交的直线;任何三角形的内角之和,总是小于一百八十度,并且随边长而变化;在这种几何学中,也没有什么相似形。

    欧几里得几何学在两千多年的时间里,一直是唯一的几何教科书。因此,非欧几何学的出现是几何学的大变革。在现代物理学和天文学中,它是许多新理论的基础!

    二十世纪初,爱因斯坦创立了著名的相对论,为科学家深入研究原子内部和星辰运动作出了重要贡献。它与量子力学一起,成为近代物理学的基石。不用谈论它的详细内容,只要列出爱因斯坦方程之一,我们就可以看出相对论是怎样离不开数码和运算符号的。它的建立需要有数学工具才行,这个结论是有普遍意义的。近代对自然界各个领域的探索,没有数学是不可想象的,简直会寸步难行。

    就是这样,人类在原始的生存斗争和后来的阶级斗争、生产斗争和科学实验中,逐渐认识了数学、发展了数学。正如恩格斯指出的:数学是从人的需要中产生的。反过来,数学又成为人类揭示各种宇宙奥秘和研究各种社会问题的有力工具。和原始的弹指计数相比,后来的数学成果确实是惊人的。

    随着人类社会的向前发展,数学会越来越进步。可以预料,更巨大、更重要的数学成就,一定会在未来为时代中不断产生。

 

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