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王启才:浅论数学的美学价值1  

2015-03-20 14:45:00|  分类: 自然学科 |  标签: |举报 |字号 订阅

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教学之余,偶读两篇关于讨论数学之美的文章,颇受启发,心有所悟。产生了把自己的一点粗浅认识写出来的冲动我的观点或许并不正确,亮出来企盼同行消遣、讨论和批评。

一、 数学是美的载体

数学就像一个王国,这个王国山青水秀,土地肥沃,植被密布,森林无际。这个王国法制完备,秩序井然,结构严谨,和谐繁荣。其疆域不是通过杀戮而是通过拓荒者艰苦地工作而迅猛地拓展着。

(一) 结构之完美

数学的各分支都以公理化方法构成一个完美的严格的演绎体系。这个结构体系就像钻石的碳结构美丽而坚不可摧。如大家熟知的欧几里得几何学,从尽可能少的几个公理出发,演绎出一个完整的几何体系。历史上关于著名的第五公设“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”的研究,给后人留下了许多动人的故事。欧几里得在他的《几何原本》中,前30多个定理的证明都没有用到第五公设。人们猜想,他是很不情愿把第五公设当成公理的,他曾试图用前四个公设证明它,而他没有成功。但著作要写下去,不依靠第五公设,一些命题无法证明。不得已,他只得将其视为公理。“用前四个公投证明第五公投”困扰了人类两千年之久,有的人为此耗费了毕生的精力。直到19世纪初问题才得到具有划时代意义的解决。1826211日,伟大的俄罗斯人罗巴切夫斯基[1792-1852]在喀山大学数学系的某次会议上宣读了他的论文《几何学原理的扼要阐释及平行定理的一个严格证明》。他的设想是,既然第五公设无法证明,说明第五公设与前四个公设没有逻辑关系。如果把第五公设改成另一种假设,应该与前四个公设是相容的,即不矛盾的。于是他大胆设想:“过直线外一点可作多余一条的直线与已知直线平行”。从这种假设出发,展开命题推理,他获得了另一种严密而完整的命题体系,即非欧几里得体系。1826211日,这一天被人们认为是非欧几何的诞生日。在罗巴切夫斯基宣读那篇划时代论文的那一年,又一个数学巨匠在德国诞生了。黎曼[1826-1866]在另一种假设下创立了另一种非欧几何——黎曼几何。公理化结构体系是最完美最严格的结构体系,人们甚至认为只有用公理化方法构建起来的数学分支才是科学的。当代一些物理学家试图在物理学研究上采用公理化方法构建物理学的结构体系,并取得了一系列成果。

(二) 思想方法之妙美

数学思想方法是数学美的本质所在,是数学的灵魂之美。离开数学思想方法谈数学美是毫无意义的,这正如我们离开心灵美去谈人的外表美一样。如RMI[关系映射反演]方法,在两个系统之间建立对应关系,且两个系统的运算协调一致[同态或同构],便可以实现问题的转化,这种实现问题转化的方法是何等妙美。又如合情推理,数学上许多重大发现都是用合情推理先得到结论,然后补上严格的证明而得到的,如四色问题,费马大定理等。欧拉是应用合情推理的大师,他曾用类比推理方法得到1+1/22+1/32+……的值,应用归纳推理的方法得到著名的关于简单多面体的欧拉公式V+F-E=2。印度著名数学家拉马努金也是合情推理大师,他用合情推理凭直觉得到许多猜想,且大部分猜想都是正确的。合情推理虽然不是严格的推理,但对于我们发现问题十分重要,是其它方法不可替代的。数学思想方法已渗透到其它科学领域,对数学思想方法的研究已形成一门学问。这里不必赘述,有兴趣的读者可以参看徐利治教授的《数学方法论选讲》和郑毓信教授的《数学方法论》。

(三) 语言之精美

数学语言丰富多彩,妙趣横生。有自然语言、符号语言、图形语言、表格语言等。这些语言不仅自身精美,而且语言之间互相解释,互相补充,各避其缺点,最大限度地发挥其优点。许多自然现象都可以用数学语言去描述。如水波、云彩、飘动、肥皂泡等。灵活运用,我们能很准确地表达我们要表达的东西,并给我们解决问题厘清思路,使我们很快地捕捉到解决问题的最佳方案。如符号语言,是多么绝妙精巧。用其表达问题,不但简捷而且生动形象富有活力。它就象音符一样记录着一曲曲千古绝唱,讲述着一条条颠簸不破的真理;演绎着一幕幕感人的悲喜剧,讴歌着一位位拓荒者的奋斗精神。符号语言是人类最伟大的创造之一,没有符号语言,数学及自然科学研究是无法展开的,更谈不上发展。又如图形语言,不但直观明快,有很强的逻辑性。而且给人以爽心悦目的感觉。各种方程或表达式对应的图形,无一不是一幅幅美的杰作。有的宛延曲折,有的一马平川;有的浪花飞溅,有的波澜不惊;有的欲穷千里目,有的更上一层楼;有的热情奔放,有的内敛含蓄;有的周而复始,有的一去无归。真可谓匠心独运,巧夺天工,令人眼花缭乱,目不遐接。

(四) 数学公式之俊美

数学公式大多具有规律性、简洁性、对称性。如帅哥靓妹,十分俊美,令人过目不忘,留连忘返。从表面看,它们显得有些冰冷无情,但它们散发着巨大的能量和热情。一种自然现象,不管它多么复杂,用一个或一组公式就可将其描述得淋漓尽致。仔细品味,使我们产生无尽的遐想。当年法拉弟发现了电与磁的转换规律,但他无法用数学方法表达,他的研究不得不停留在一个初级水平上。有数学天赋的英国物理学家麦克斯韦[1831-1879]用一组方程组就表示了这种现象,这就是著名的麦克斯韦方程组。从此奠定了《电磁学》的基础,使这门学科迅速发展。数学公式的俊美是数学大师们辛苦劳作的成果,是上帝赐给人类最美的礼物之一。

 

二、 数学活动是美的最好体验

数学活动是指数学学习、数学研究、数学应用等方面。数学活动有苦也有乐,真可谓不经历风雨怎能见彩虹。在教学活动中,有紧张也有松驰;有沮丧也有欢欣;有疑惑也有震撼;有茫然也有激动;有神昏颠倒更有心旷神怡。当我们弄懂了一个高深的问题,当我们经过苦苦思索,突然有了新的发现,当我们用我们已掌握的数学知识解决了现实生活中的某个重要问题,我们该有多么激动,该多有成就感!这种快感体验简直难以言表。

在数学这个国度里,有不同层次但没有阶级;有顺序但没有贵贱;有大小但没有贫富;有矛盾但没有暴力和恐怖;有争锋相对但没有流血冲突;有不同领域但没有民族矛盾、种族歧视;有不同空间但没有主权之争;有瘕点但没有腐败;有强弱但没有强权;有蜕化但没有堕落;有联系但没有勾结;有预测但没有巫术;有合情推理,但没有主观臆断;有技巧但没有阴谋;有规则但它不是枷锁;有陷阱但它绝不是绝境。这个国度是一个和谐、相容、博爱、公平、公正、民主、自由的大王国。在这个王国里漫游,我们可以享受到现实生活中享受不到的美。

古希腊数学家阿基米德[287-212]是有史以来最伟大的四个数学家之一[另三个是牛顿、高斯、欧拉]。他临死前说过的最后一句话是“别动了我的图”。当罗马军队攻陷古希腊城堡,罗马士兵要杀他时,这位伟大的思想者正在享受数学活动之美。全然没有意识到死神的降临,显然他为之女妖[欧几里得几何]的甜蜜陶醉了,甚至神志恍惚了。

现代为数学而生为数学而死,最能享受数学之美的人是匈牙利数学家保罗*厄多斯[1903-],他有句名言:“要休息的话,坟墓里多的是时间”,他没有妻子、没有孩子、没有信用卡,没有固定的工作,只有两个简单的行李箱装着些许衣服和笔记本,他超凡脱俗,四海为家。他在全世界浪迹天涯。他的整个身体与心灵都是在为数学而活,从不言休息,他睡觉都在解决数学问题,他是当代最高产的数学家。

[待续]

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